Pour la magnétostatique, on définit ses propriétés fondamentales.

Définitions

\(\triangleright\) Définition d'un champ magnétostatique

Un champ est magnétostatique s'il remplit les conditions suivantes:
- $$\vec{rot}(\vec B)=\mu_0\vec j$$
- $$div(\vec B)=0$$

Induction magnétique

Symétries

\(\triangleright\) Symétrie pour un champ magnétique

- \(\vec B\) est perpendiculaire au plan de symétrie
- \(\vec B\) est parallèle au Plan d’antisymétrie

Actions d'un champ magnétique

Sur une particule chargée en mouvement

Lois de Laplace
Force de Lorentz

Sur un circuit

Effet Hall
Lois de Laplace

Expression d'un champ magnétique

\(\triangleright\) Expression d'un champ magnétique créé par une charge en mouvement

Un champ magnétique créé par une charge en mouvement est définit par:
$$\vec B(M)={{\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\vec v\wedge\vec r}{r^3} }}$$
Avec:
- \(\vec r\): la distance entrela charge et le point \(M\)
- \(\mu_0\): la perméabilité du vide
- \(\vec v\): la vitesse de la charge

\(\triangleright\) Expression d'un champ magnétique créé par un élément de courant

L'expression d'un champ magnétique créé par un élément de courant:
$$\vec B(M)= {{\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_{V_T} \frac{\vec jd\tau\wedge\vec r}{r^3} }}$$
Dans le cas particulier d'un circuit filiforme (Loi de Biot et Savart):
$$\vec B(M)= {{\frac{\mu_0}{4\pi}\int_C \frac{I\vec {dl}\wedge\vec r}{r^3} }}$$

Flux du champ magnétique

\(\triangleright\) Champ magnétique , un champ conservatif

Le champ magnétique est un champ à flux conservatif:
\( \)
$${\subset\!\supset} \llap{\iint}\vec B.\vec{dS}=0$$
Cela implique que, d'aprés le Théorème d'Ostrogradsky - De la divergence:
$$div (\vec B)=0$$
Conséquence:
\(\vec B\) dérive d'un potentiel vecteur:
$$\vec B={{\vec{rot}(\vec A)}}$$

Jauge de Coulomb

\(\vec A\) est défini à un gradient près. On choisit la solution \(div(\vec A)={{0}}\) qui porte le nom de Jauge de Coulomb.

\(\triangleright\) Conséquence de la Jauge de Coulomb

Soit \(\vec A\) un potentiel vecteur.
$$\vec \Delta \vec A={{-\mu_0\vec j}}$$
(Analogie avec l'Equation de Poisson)
Avec comme solution:
$$\vec A={{\frac{\mu_0}{4\pi}\iiint_\tau\frac{\vec j}{r}d\tau}}$$

Théorème d'Ampère

Théorème d’Ampère

Energie magnétique

\(\triangleright\) Energie potentielle magnétique d'une distribution de courants

$$W_m={{\frac 12\iiint_{Sfermé}\vec j.\vec Ad\tau}}$$
$$W_m=\frac 12\iiint_{espace}\frac{\vec B^2}{\mu_0}d\tau$$
\(\implies\) Densité volumique d'énergie magnétique: \(u_m=\frac{d W_m}{d\tau}\)